Неравенство на Чебишев


Категория на документа: Икономика




По
"Методи за събиране и анализ на данни в псиологията -1"
На тема:

"Неравенство на Чебишев"

На Росица Николаева Николова

Специалност: Психология
II-курс I-група
Фак. №22151012

ВСУ "Черноризец Храбър". Проверил: проф.д-р Здр.Славов
Дата:07.02.2014г.

Законa на големите числа ни позволява да се опише поведението на суми от случайните величини. Един прост пример е следната теорема на Чебишев за пространствата на елементарните събития на ограничен брой елементи. Великият руски математик Пафнути Чебишев (1821-1894) е измислил тази теорема и затова е кръстена на него, а именно неравенство на Чебишев. Тези неравенства широко се използват в теорията на математическата статистика, а също непосредствено се приемат в реда на практическите задачи за възприемане на решенията. Например, в задачите на статистическия анализ на технологичните процси и качества на продукцията в случаите, когато истинския вид на функционалното разпределение на наблюдаваните резултати е неизвестен. Те се използват също в задачите на изключване на рязко отклоняваш се наблюдаващ резултат.
Теоремата на Чебишев може да бъде лесно обобщена на още по-сложен случай , а именно когато закона за разпределение на случайната величина от опит към опит не остава една и съща, а се изменя. Тогава вместо средно аритметичните наблюдавани знчения на една и съща величина с постоянно математическо очакване и дисперсия ние имаме работа със средно аритметично на различните случайни величини, с различни матемтически очаквания и дисперсии. Оказва се, че и в този случай при спазване на някои условия средно аритметичното се явява устойчиво и достига по вероятността към определена не случайна величина. Обобщената теория на Чебишев се формулира по следния начин. Ако

са с независими случайни величини с математически очаквания
и дисперсия и ако всички дисперсни са ограничени отгоре с едно и също число L:

то при нарастване средно аритметични наблюдавани знчения на величинитена сходни по вероятност към средно аритметическото им математиеско очакване.

Пишем тази теорема като формула. Нека- произволно малко положителни числа. Тогава при достатъчно голямо

Доказателство. Ще разгледаме величината

Нейнното математическо очакване е равно на:

А дисперсия

Ще използваме към величината неравенството на Чебишев

или

Ще заменим в дясно неравенството всяка от еличините с голяма величина . Тогава неравенството ще се увеличи:

Колкото и малко да е било , можем да изберем толкова голямо, за да се изпълни неравенството

Тогава
,
От къде, преминавайки към противоположното събитие, ще получим доказаното неравенство. Закона на големите числа може да бъде разпространен и на зависими случайни величини.

Първо неравенство на Чебишев. Нека X-неотрицателна случайна величина (т.е. за който и да е ). Тогава, за което и да е положително число а е в сила неравенството

Доказателство:Всички условия в дясната част на формулата определящи математическите очаквания, в разгледания случй са неотрицателни. Затова при изхвърлянето на някой условия сумата не се увеличава. Ще оставим в сумата само тези членове, за които . Ще получим
.
За всички условия в дясната част , затова
.



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Неравенство на Чебишев 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.